definitively

endgültig beweisen

to demonstrate the truth or existence of something by evidence or argument.

auf endgültige und schlüssige Weise nachweisen, dass etwas wahr ist

endgültig feststellen

to show something to be true or certain by determining the facts.

Etwas auf endgültige und schlüssige Weise feststellen.

endgültig bestimmen

to find out or establish exactly, typically as a result of research or calculation.

Etwas endgültig und mit Sicherheit entscheiden oder feststellen.